René Guénon — Cantor
La imposibilidad del «número infinito» puede establecerse aún con diversos argumentos; Leibniz, que al menos la reconocía muy claramente («A pesar de mi cálculo infinitesimal, escribía concretamente, yo no admito ningún verdadero número infinito, aunque confieso que la multitud de las cosas sobrepasa todo número finito, o más bien todo número».), empleaba el que consiste en comparar la sucesión de los números pares a la de todos los números enteros: a todo número corresponde otro número que es igual a su doble, de suerte que se pueden hacer corresponder las dos sucesiones término a término, de donde resulta que el número de los términos debe ser el mismo en uno y otro caso; pero, por otra parte, evidentemente hay dos veces más números enteros que números pares, puesto que los números pares se colocan de dos en dos en la sucesión de los números enteros; por consiguiente, así se concluye en una contradicción manifiesta. Se puede generalizar este argumento tomando, en lugar de la sucesión de los números pares, es decir, de los múltiplos de dos, la de los múltiplos de un número cualquiera, y el razonamiento es idéntico; se puede tomar también de la misma manera la sucesión de los cuadrados de los números enteros (Esto es lo que hacía Cauchy, que, por lo demás, atribuía este argumento a Galileo (Sept leçons de Physique générale, 3a lección).), o más generalmente, la de sus potencias de un exponente cualquiera. En todos los casos, la conclusión a la que se llega es siempre la misma: una sucesión que no comprende más que una parte de los números enteros debería tener el mismo número de términos que la que los comprende a todos, lo que equivaldría a decir que el todo no sería más grande que su parte; y, desde que se admite que hay un número de todos los números, es imposible escapar a esta contradicción. No obstante, algunos han creído poder escapar a ella admitiendo, al mismo tiempo, que hay números a partir de los que la multiplicación por un cierto número o la elevación a una cierta potencia ya no sería posible, porque daría un resultado que rebasaría el pretendido «número infinito»; hay inclusos quienes han sido conducidos a considerar en efecto números llamados «más grandes que el infinito», de donde teorías como la del «transfinito» de Cantor, que pueden ser muy ingeniosas, pero que por eso no son más válidas lógicamente (Ya, en la época de Leibniz, Wallis consideraba «spatia plus quam infinita»; esta opinión, denunciada por Varignon como implicando contradicción, fue sostenida igualmente por Guido Grandi en su libro De Infinitis infinitorum. Por otra parte, Jean Bernoulli, en el curso de sus discusiones con Leibniz, escribía: «Si dantur termini infiniti, datibur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum sequuntur», lo que, aunque no se explique más claramente ahí, parece indicar que admitía que pueda haber en una serie numérica términos «más allá del infinito». ): ¿es concebible que se pueda pensar en llamar «infinito» a un número que, al contrario, es tan «finito» que no es ni siquiera el más grande de todos? Por lo demás, con semejantes teorías, habría números a los que ninguna de las reglas del cálculo ordinario se aplicarían ya, es decir, en suma, números que no serían verdaderamente números, y que no serían llamados así más que por convención (En eso no se puede decir de ninguna manera que se trate de un empleo analógico de la idea del número, ya que esto supondría una transposición a un dominio diferente del de la cantidad, y, al contrario, es a la cantidad, entendida en su sentido más literal, a la que se refieren exclusivamente todas las consideraciones de este tipo.); es lo que ocurre forzosamente cuando, al buscar concebir el «número infinito» de otro modo que como el más grande de los números, se consideran diferentes «números infinitos», supuestos desiguales entre sí, y a los que se atribuyen propiedades que ya no tienen nada en común con las de los números ordinarios; así, no se escapa a una contradicción más que para caer en otras, y en el fondo, todo eso no es más que el producto del «convencionalismo» más vacío de sentido que se pueda imaginar. 5892 Los principios del cálculo infinitesimal LA CONTRADICCIÓN DEL «NÚMERO INFINITO»